문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 선형 변환 (문단 편집) == 정의 == [math(f:V\rightarrow W)]가 선형 변환이라 함은 다음을 만족시키는 것이다. > * (동차성(Homogeneity)) 임의의 [math(a\in F)], [math(u \in V)]에 대해, [math(f\left(au\right)=af\left(u\right))][* 스칼라 [math(a)]배만큼 결과값 [math(f\left(u\right))]의 크기를 바꾸는 성질로 인해 영어로 '''Scaling'''이라고 하기도 한다.] > * (가산성(Additivity)) 임의의 [math(u, v \in V)]에 대해 [math(f\left(u+v\right)=f\left(u\right)+f\left(v\right))] >---- > 특히 이 둘을 합쳐서 선형성이라고 부르기도 한다. 선형성을 만족함은 동차성과 가산성을 동시에 만족하는 것과 동치이다. > * (선형성(linearity)) 임의의 [math(a,b\in F)], [math(u,v\in V)]에 대해, [math(f\left(au+bv\right)=af\left(u\right)+bf\left(v\right))] 이를 만족하지 못 한다면 '''비선형''' 변환(non-linear transformation)이라 한다. 다르게는 [[범주론|카테고리 이론]]을 이용하여 간단하게 Vect(K)에서의 morphism을 선형 변환이라고 정의할 수도 있는데, 집합론을 썼느냐 카테고리 이론을 썼느냐의 차이일 뿐 사실 같은 대상이다. [[실수(수학)|[math(\mathbb{R})]]]를 스칼라로 갖는 경우를 예로 들어보자. * [math(V=W=\mathbb{R}^{2})]에 대해, * [math(f\left(x,y\right)=\left(5x+3y,7x-2y\right))]는 선형 변환이다. * [math(f\left(x,y\right)=\left(6x,5x\right))]는 선형 변환이다. * [math(f\left(x,y\right)=\left(x^{2}+\sin y,0\right))]는 선형 변환이 아니다. * [math(f\left(x,y\right)=\left(0,0\right))]는 선형 변환이다. * [math(f\left(x,y\right)=\left(x+1,x+5y+2\right))]는 선형 변환이 아니다. * [math(V)]를 [math(\left[0,1\right])]에서 [math(\mathbb{R})]로 가는 연속함수들의 모임이라 하면, [math(\mathbb{R})]-벡터 공간이다. [math(\phi:V\rightarrow \mathbb{R})]을 [math(\phi\left(f\right):=\int_{0}^{1}f)]라 하면 [math(\phi)]는 선형 변환이다. * [math(V)]를 [math(n)]차 정사각 행렬의 모임이라 하면, [math(\mathbb{R})]-벡터 공간이다. [[주대각합]] [math(\text{tr}:V\rightarrow \mathbb{R})]은 선형 변환이다. * [math(V=W=\mathbb{C})], [math(T\left(z\right):=\overline{z})]라 정의하자. [math(\mathbb{R})], [math(\mathbb{C})]위에서, [math(V)], [math(W)]는 벡터 공간이다.[* 이 예는 스칼라체의 중요성을 보여준다.] * [math(\mathbb{R})]위에서, [math(T)]는 선형 변환이다. * [math(\mathbb{C})]위에서, [math(T)]는 선형 변환이 아니다. [math(iT\left(1\right)=i\ne-i=T\left(i\cdot 1\right))]이기 때문이다.[* 참고로 이런 꼴을 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Antilinear_map|배반선형사상(Antilinear map)]]이라고 한다.]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기